申論 1迴歸（regression）一詞是由英國Galton 爵士所提出，更早他所用的字為〝相反〞（reversion）。在當時，他調查一組父母的加權平均身高X,X,Κ,X及其子女的身12n高Y,Y,Κ,Y時，其所得到的估計值（fitted values）類似像12n2()Yˆ=Y+X−X,i =,2,1Κ,ni3i1n1n其中Y=∑Y以及X=∑X。試詳加說明為何根據上述關係式，我們可得到父ninii=1i=1母身高若都很高，其小孩身高雖會比一般人高，但不會像其父母那麼高的結論；亦即很高父母的小孩之身高有退化的趨勢。（10 分）()=Κ
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弱點分析
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申論 2對資料Y,X,X,i ,15,，考慮線性迴歸模式ii1i2Y=β+βX+βX+ε,i =,2,1Κ5,i01i12i2i其中ε,ε,Κ,ε為獨立且平均數為0，變異數為σ 2之常態分配（normally distributed）隨機變數。一些可能會用到的統計量彙整如下：155()=∑=ˆ=+∑ˆ−2=2=YY20, Y206X, YY360, R 9.0（R-Square）5iii1ii=1i=1迴歸參數 最小平方 (least 估計值標準誤差squares) 估計值 (standard error)( )ββˆ =20e.sβˆ =2( )β βˆ =6 e.sβˆ=1.4142( )β βˆ =0 e.sβˆ=2.23607(()>)=(()>)=PF2,319.16.005 PF3,2.955.005(( )>)=(( )>)=PT2.18861.0PT3.16381.0(( )>)=(( )>)=PT2.2920.005PT3.2353.005()( )其中Fn,n為一分子自由度為n ，分母自由度為n 的F 分配，而Tn為一自由度為n的t 分配。㈠請完成以下的變異數分析表，並將變異數分析表畫在試卷上。（15 分）變異來源 平方和 自由度 均方和 F 檢定(Sum of (Degree of (Mean SumSquares) Freedom) of Squares)迴歸 (a) 2 (f) (h)殘差 (b) (d) (g)總和 (c) (e)㈡在顯著水準（level of significance）為0.1 下，請利用t統計量檢定H:β=5。請判斷檢定結果。（5 分）㈢在顯著水準為0.05 下，請利用F 統計量檢定H:β=β=β=0。請判斷檢定結果。（5 分）
申論 3對以下的資料i 1 2 3 4 5 6Y 0 1 0 1 0 1iX 1 1 2 2 3 3i㈠考慮配適線性迴歸模式Y=β+βX+ε ,i=,2,1Κ6,來分析上述資料，其中i01iiε,ε,Κ,ε為獨立且平均數為0，變異數為σ 2之隨機變數。請寫出估計迴歸式（estimated regression equation）及其判定係數（coefficient of determination）R 2。（6 分）㈡考慮配適線性迴歸模式 Y=βX+ε ,i=,2,1Κ6,來分析上述資料，其中i1iiε,ε,Κ,ε為獨立且平均數為0，變異數為σ 2之隨機變數。請寫出估計迴歸式以及R 2。（6 分）㈢上述㈠與㈡中ε,ε,Κ,ε的平均數假設為0 ，根據此假設請評論Y=β+βX+ε及Y=βX+ε何者為較佳之模式？請詳述理由。（6 分）i01iii1ii㈣考慮配適線性迴歸模式Y=βX+ε ,i=,2,1Κ6,，其中ε,ε,Κ,ε為獨立且平均i1ii126(ε )=β數為0，變異數為Var5.0X之隨機變數。試計算迴歸參數 的加權最小平ii1方（weighted least squares）估計值。（7 分）() ()Κ()
申論 4對資料Y,X,Y,X,,Y ,X，考慮以簡單線性迴歸模式1122nnY=β+βX+ε ,i=,2,1Κ,ni01ii來分析資料，其中ε,ε,Κ,ε為獨立且平均數為0，變異數為σ 2之隨機變數。一12n些可能會用到的統計量及關係式整理如下：ˆˆˆˆnY=β+βX, εˆ=Y−Y, ∑εˆ= ,0i01iiiiii=1n∑Yn()n()n()i∑−2=∑−ˆ2+∑ˆ−2=i=1YYYYYY ,Y,iiiini=1i=1i=1βˆβˆ其中 及 為迴歸參數的最小平方估計值。㈠εˆ,εˆ,Κ,εˆ與Y,Y,Κ,Y的樣本相關係數（sample correlation coefficient）為12n12n()11−R2 2，試推導之。請詳列推導過程。（10 分）() ()()Yˆ,εˆ,Yˆ,εˆ,Κ,Yˆ,εˆ㈡試解釋為何畫殘差圖時，一般用的是，而非1122nn(ε) (ε)Κ(ε)Y,ˆ,Y,ˆ,,Y,ˆ。（5 分）
申論 5考慮以下資料Y,X,X ,i,15,，我們試著以不同的迴歸模式來分析，並希望ii1i2利用不同的方法選取適合的迴歸模式。以下為可能用到的迴歸模式以及統計量：殘差平方和 AIC BIC迴歸模式(Residual Sumof Squares)Y=β+βX+βX+ε 0.107 –13.2218 –6.7218i01i12i2iY=β+βX+ε 0.6695 –6.0533 –7.1762i01i1iY=β+βX+ε 8.927 6.8982 3.1361i02i2i(()>)=(()>)=PF2,118.51.005PF3,110.13.005(()>)=(()>)=PF4,1.771.005PF5,1.661.005其中ε,ε,Κ,ε為獨立且平均數為0，變異數為σ 2之常態分配（normally distributed）隨機變數。㈠請利用AIC（Akaike’s Information Criterion）來選取最好的迴歸模式。（3 分）㈡請利用BIC（Bayesian Information Criterion）來選取最好的迴歸模式。（3 分）㈢若迴歸模式Y=β+βX+βX+ε 的Mallows’ C 值為3，請計算其他兩個i01i12i2ip迴歸模式的C值。並評論若以C值來選取模式，這兩個迴歸模式ppY=β+βX+ε 以及Y=β+βX+ε何者為較合適的模式？（9 分）i01i1ii02i2i5()㈣若選入一變數所設之顯著水準固定為0.05，且∑Y−Y2=25.172，其中ii=1Y=∑Y。請利用向前選取法（forward selection method）選取一合適模式。請5ii=1詳列解答過程。（10 分）