高普考題庫
101 年 101年公務人員高等考試三級考試暨普通考試

統計學

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本卷皆為申論題，點「看答案與解析」查看擬答。

申論 1若X, X, X, …, X係隨機抽自同質分配（Uniform Distribution）母體之隨機樣本（123nRandom Sample），其機率密度函數（Probability Density Function）為f (x) = 1 ∀ x ∈ [θ-1/2, θ+ 1/2 ]X= 0 其他且定義Y= min{X, X, X, …, X}與Y= max{X, X, X, …, X}，則1123nn123n㈠試求隨機變數Y與Y之聯合機率密度函數（Joint Probability Density Function）。（51n分）㈡試求隨機變數R = Y-Y與M = (Y+Y)/2 之聯合機率密度函數。（6 分）n11n㈢試分別求隨機變數R 與M 之邊際機率密度函數（Marginal Probability DensityFunction）。（10 分）㈣試問與MR 是否為θ之輔助統計式（Ancillary Statistic）？簡要說明為什麼？（4 分）㈤試分別求隨機變數R 與M 之期望值（Expected Value）與變異數（Variance）。（15 分）
申論 2若考慮ABC地區適婚男性未婚之比率p，遂於該區之適婚男性抽出（X, X, X, …,X）為隨機樣本，且（x, x, x, …, x）為觀測樣本（Observed Sample），則n123n㈠請用動差法（The Method of Moments）求適婚男性未婚比率p 之點估計式（PointEstimator）。（3 分）㈡請用最適法(The Method of Maximum Likelihood Estimation）求適婚男性未婚比率p 之點估計式。（7 分）㈢證明該點估計式為不偏估計式（Unbiased Estimator）。（2 分）為瞭解該區適婚男性未婚之詳情，遂於該區之適婚男性隨機抽出300 人為樣本，發現適婚男性未婚者81 人，則㈣請列適婚男性未婚比率p 之估計式（Estimator）。（1 分）㈤請計算適婚男性未婚比率p 之估計值（Estimates）。（2 分）若相關母體為常態，且顯著水準為（The Level of Significance）5%，則㈥請列適婚男性未婚比率p 之信賴區間（Confidence Interval）估計式。（1 分）㈦請計算適婚男性未婚比率p 之信賴區間估計值。（4 分）㈧請問適婚男性未婚之比率p 是否為0.3？（5 分）㈨請問適婚男性未婚之比率p 是否低於0.3？（5 分）（請接第二頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第二頁類 科： 統計科 目： 統計學
申論 3為研究試驗個體間之抽樣變異（Sampling Variability），遂於參加SAT 考試之學生中隨機抽出分數分別為580、585、590、595 與600 之5 位男學生與分數分別為540、545、550、555 與560 之5 位女學生為樣本1。又於參加SAT 考試之學生中隨機抽出分數分別為530、560、590、620 與650 之5 位男學生與分數分別為490、520、550、580 與610 之5 位女學生為樣本2。若相關母體為常態，且顯著水準（The Level ofSignificance）為5%，則請以均數差之推論或變異數分析（ANOVA）等統計方法分析前述兩樣本試驗個體間之抽樣變異，但至少須考慮並回答下列問題：㈠請問各樣本男學生與女學生之平均分數是否不同？（8 分）㈡請問各樣本男學生之平均分數是否比女學生之平均分數高30 分但不高於35 分？（8 分）㈢試問各樣本男學生與女學生分數之相關係數是否大於0？（5 分）㈣試問各樣本男學生與女學生分數之相關係數是否超過0.8？（5 分）㈤簡要說明你的發現與理由。（4 分）（請接第三頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第三頁類 科： 統計科 目： 統計學表一（請接第三頁）（請接第四頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第四頁類 科： 統計科 目： 統計學表一（請接第三頁）（請接第五頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第五頁類 科： 統計科 目： 統計學表二The Normal Distribution（請接第三頁）（請接第六頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第六頁類 科： 統計科 目： 統計學表三（請接第三頁）（請接第七頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第七頁類 科： 統計科 目： 統計學表四（請接第八頁） （請接第三頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第八頁類 科： 統計科 目： 統計學表五fΓ[(r+r/)2](r/r)r/2wr/2−1≤=∫121211P(Ff)dw0Γ(r/2)Γ(r/2)(1+rw/r)(r+r/)2（請接第三頁）（請接第九頁）101年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31880第九頁類 科： 統計科 目： 統計學表五∫fΓ[(r+r)/2](r/r)r1/2wr1/2−1P(F≤f)=1212dw0Γ(r/2)Γ(r/2)(1+rw/r)(r1+r2/)2（請接第三頁）