申論 1若時間序列h(t)的傅立葉轉換（FourierTransform）為H ( f)h (t )ej2ftdt，其中t 是時間，f 是頻率，j 是虛數(=-1)，請回答下列問題：㈠請寫出其逆傅立葉轉換（Inverse Fourier Transform）的型式。（3 分）㈡請寫出其離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform）的型式（假設時間取樣為T，N 個資料點數，n 表示第n 個頻率資料點，k 表示第k個時間資料點）。（4 分）㈢若h(t)是一純虛數（pure imaginary）時間序列，請證明其傅立葉轉換後，在頻率域的實部（Real part）是奇函數（odd function），而虛部（Imaginary part）是偶函數（even function）。（8 分）㈣若在頻率域（frequency domain）將訊號移動一個線性相位（Linearphase；頻率與相位成正比），待其逆轉回時間域（time domain）時，此時間序列會有何變化？（5 分）" ∗"" ⊗"
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弱點分析
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申論 2有三個時間序列x(t)、y(t)和o(t)，有x(t)*y(t) = o(t)的關係，其中符號表示摺積（convolution），以符號表示相關運算（correlations），請回答下列問題：㈠請寫出x(t)與y(t)的摺積數學積分型式。（3 分）㈡承㈠，並說明此積分的意義。（可繪圖輔助說明）（7 分）㈢從x(t)和o(t)求y(t)或從y(t)和o(t)求x(t)，稱為反摺積（deconvolution），地震學上，經常利用反摺積來去除地震儀器響應（instrumentalresponse）、反演震源時間函數（source time function）、推導接收函數（receiver function）等等。請從頻率域說明如何進行反摺積以求得y(t)？請問這樣的做法會造成何種問題？該如何解決？（10 分）㈣在離散下，若x(t)=(2,1,3,6,4,2,2)和o(t)=(2,5,7,23,24,31,40,26,12,10)，假設等間隔時間取樣為1，第一點為時間0，時間序列往右為時間增加，求y(t) =？（請寫出計算過程）（5 分）㈤請證明a (t )b (t )a(t)b (t )。（5 分）
申論 4表面波（surface wave）是地震研究的重要震波之一，要計算表面波的群速（group velocity）經常利用高斯濾波器（Gaussian filter）來進行時頻分析（Time-Frequency analysis），請回答下列問題：㈠何謂時頻分析？（3 分）㈡請寫出高斯濾波器在時間域和頻率域的一般表示式。（4 分）㈢如何利用高斯濾波器進行時頻分析以求得表面波的群速？（8 分）㈣下圖是以某一中心頻率濾波後所得到頻率域的實部及虛部，請問該如何安排此實部及虛部，使其能正確逆轉換回到時間域？（可繪圖輔助說明）（5 分）㈤承㈣，若此頻譜為位移譜，請問在頻率域該如何處理，使其逆傳換回到時間域後變為速度紀錄？（5 分）Real partImaginary part（實部）（虛部）fNfN⦁：資料點fN：Nyquist frequency