申論 1製造商要生產4個產品：1,2,3,4。令C為產品j的價格，分別為C=40, C60,j12=C=20, C=100。這4個產品需要在4個工廠加工。令b為工廠i可用的資源，34i分別為b=30, b=20, b=40, b=60。令x為產品j所生產的數目（可為實1234j數），製造商想最大化總價格收入。此最佳化問題的線性規劃模式如下：Max40x60x20x100xs.t.xx2x2x30xx2xx20x2x2xx40xxx2x60令x,x,x,x 為相對於限制式的鬆弛（slack）變數。加入之後的式子如下：xx2x2xx30xx2xxx20x2x2xxx40xxx2xx60已知經由simplex方法解出的最佳解為x0,x10,x0,x10㈠請求出4個資源分別的影子價格（Shadow Prices）。（10分）㈡如果現在是以最佳解的方式生產，如果資源1增加1，新的最佳解的總價格收入會增加多少？為什麼？（5分）㈢如果現在是以最佳解的方式生產，如果我們要加購資源2，最高購買價格不能超過多少？為什麼？（5分）㈣如果現在是以最佳解的方式生產，第3個產品的價格要由20增至多少，製造商才要開始生產第3個產品？（5分）㈤如果現在是以最佳解的方式生產，求這4個產品價格分別的可允許範圍（Allowable Range），相關計算可能需要參考如下的反矩陣：（5分）12101002 / 31/ 31101001/ 32 / 31200011/ 31/ 3㈥如果現在是以最佳解的方式生產，當產品1的價格增至50，產品2的價格增至70，請問最佳解是否會改變？為什麼？（5分）
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申論 2有一商家賣新的熱銷手機，商家每日開始營業時，庫存只可存放最多S支手機於店內。當日結束營業後檢查手機庫存量，如果庫存少於或等於s支手機，商家就會向通路商補貨。通路商只會供應R1或R2兩種供貨數量。也由於手機熱銷，顧客當日來店，若手機當日銷售完，會留下資料，該筆需求成為欠單需求。商家會於補貨日時補足該欠單。補貨時，是以要補足欠單數量（如果有的話），同時也要補足S支庫存，或在無法補足時，儘量補足庫存的方式決定補貨R1或R2的手機量。補貨之手機於次日開始營業前會補足欠單量並送達商家成為店內之庫存。令D表示每日的需求量，其機率分布如下P(D=0)=1/3, P(D=1)=1/3, P(D=2)=1/3 。若以馬可夫鍊（Markov Chain）建模分析此系統並以每日結束營業後檢查庫存量當作狀R1態（state）。系統的參數為S=2, s=0, R1=1, R2=3R㈠寫出狀態空間（state space），那些狀態（state）要補量的貨？那些狀態（state）要補2量的貨？（10分）㈡寫出機率轉換（transition）矩陣。（5分）㈢求出穩態（steady-state）機率。（5分）㈣在系統穩定下，任何一天會發生欠單之機率為何？當這天發生欠單，平均隔幾天會再發生欠單？（5分）
申論 3某公司有3種客製產品（產品1,2,3）需要在7天依序完成，其中每一產品都至少分配1天生產，而第2個產品則至少要2天，另外第3個產品最多只能分配3天生產。每個產品所需之製造成本與所投入總天數有關，完成天數越少所需投入的成本則越多。下表為各個產品相對不同完成天數與成本的對應表。該公司想利用動態規劃決定3種客製產品所投入之天數以使總成本最低。生產成本天數客製產品140NA（不可行）9041520NA（不可行）㈠請定義階段（stage）、狀態（state）與決定（decision）。（5分）㈡請以動態規劃的方式求解最佳解並以決策樹表示。（15分）
申論 4製造商只生產單一產品且採用訂單式生產方式：收到顧客訂單（顧客下單）才開始生產。每個訂單只要求1單位產品，訂單到達時間間隔呈現指數分配，平均到達時間間隔為2.5天，且到達時間間隔互相獨立。製造商工作機台以訂單先到先服務的方式生產產品，工作機台每次生產1單位產品，生產1單位的時間為指數分布且相互獨立，平均5天可生產6單位產品。製造商現在只有1台工作機台。（每小題5分，共20分）㈠客戶所關心的是從訂單下單到拿到貨的時間間隔，稱之為回應時間。請問有多少比例的客戶回應時間在2天內？㈡客戶所關心的是訂單下單到工作機台開始生產該產品的時間間隔，請問有多少比例的客戶訂單在下單之後1天內可開始生產？㈢如果要滿足客戶的訂單在下單之後1天內可開始生產的比例要至少99%，製造商先嘗試加1台工作機台，訂單仍是先（下單）到先服務的方式由空閒的機台生產產品。請問在此系統，有多少比例，訂單下單後不能馬上生產而要等候空閒的機台？㈣接續㈢，請問增加1台工作機台後有多少比例客戶的訂單在下單之後1天內可開始生產？